虚位移法的意思(什么是虚位移法)

摘要：指出现有方法计算磁力存在的问题.推导了作用于媒质的磁场力和磁力矩计算公式,可用于分析媒质在磁场作用下的形变和运动趋势,并给出应用实例.本文进一步完善麦克斯韦应力公式,在一定程度上弥补虚位移法的不足,同时为法拉第观点和等效磁荷法提供理论印证.

关键词： 电磁装置 磁介质 磁力矩 磁场 磁场力

在很多电磁装置中,需要计算媒质所受的磁场力和磁力矩,进而分析受力体的形变或运动.求解磁力[矩]的常用方法有:1)安培力定律——根据媒质的电流和磁场分布计算磁力[矩],对于较复杂的系统用该方法求解困难;2)虚位移法[1,2]——通过磁场能量公式和媒质的假想位移计算总磁力[矩],可用于较复杂的系统,但当系统中含有非线性磁介质时,磁场能难以计算.另外,当媒质在某个方向的假想运动受限时,该方向的磁力[矩]分量无法求出;3)法拉第观点[3]——认为磁通密度管表面所受磁场力密度的量值等于磁场能量密度,但该方法缺乏严格的理论依据;4)等效磁荷法[4]——把媒质上的磁化电流等效为磁荷,采用类似电场的方法进行分析,但用分子电流模型和磁偶极子模型得到的磁应力不等效[5];5)麦克斯韦应力公式[6]——将媒质体内电流所受磁场力转化为媒质表面的应力,但大多文献推导公式时只考虑体电流的受力,没有考虑面电流的受力,而面电流的受力与体电流的等效面积力不同.另外,体积力与等效面积力的作用点不同,不能直接断定两者的磁力矩相等.而有的文献[7]将媒质表面与内侧的磁感应强度视为等同,这是不正确的.

本文通过严谨的数学推导,得出作用于媒质的磁力[矩]公式,并给出应用实例,在一定程度上弥补以上方法的不足.

1、公式推导

1.1总电流所受磁场力

如图1,一媒质的体积为V,表面为S(单位外法向矢量为en).媒质体内的磁感应强度为B,总电流(传导电流与磁化电流之和)的体密度为J,总电流的面密度为K.媒质外部为空气,磁感应强度为B0,磁导率为μ0.

图1磁场中的媒质

在磁准静态条件下,满足以下关系

体电流元所受的磁场力为dFV=J×BdV,将式(1)代入该式,得

由麦克斯韦应力公式,体电流所受的总磁场力为

式(6)将体电流整体受力转化为面积力.另外,面电流也受到磁场力的作用.

媒质表面的磁感应强度B′为两侧的平均值[8],

面电流元所受的磁场力为dFS=K×B′dS,将式(3)和式(7)代入该式,整理后得

由式(8)和式(4),面电流所受总磁场力FS为

式(6)与式(9)相加,得到总电流受到的总磁场力F为

1.2磁化电流所受磁场力

设媒质体内的磁化强度为M,若磁导率μ为常数,则体磁化电流密度Jm为

式(11)和式(1)相似,所以对照式(6)可得体磁化电流受到的总磁场力FmV为

式(12)中的下标n和t分别表示法向和切向分量.

如果媒质表面没有传导电流,由边值关系得

式(13)和(4)代入式(8),得到面磁化电流元受到的磁场力dFmS为

式(12)与(15)相加,得到磁化电流所受的总磁场力Fm为

1.3磁力矩公式

体电流受到的磁场力与等效面积力的作用点不同,下面证明两者的总磁力矩相等.

设点O到体积元dV的位矢为r,由式(5),体电流所受的总磁力矩TV为

2、公式应用

2.1适用条件

式(8)适用于计算任意媒质表面的磁力分布,式(14)适用于计算线性磁介质表面的磁力分布,进而分析媒质表面的形变趋势.

式(10)[式(21)]适用于计算任意媒质所受的总磁力[矩],式(16)[式(22)]适用于计算线性均匀磁介质所受的总磁力[矩],进而分析媒质的运动趋势.

2.2应用举例

例1:图2中,铁心和上方衔铁的矩形横截面积均为A,忽略漏磁,且近似认为左右气隙中的磁通密度大小均匀,方向与衔铁表面垂直,分析衔铁在磁场作用下的形变和运动趋势.

图2衔铁所受磁力

根据式(8),衔铁表面所受磁力密度fS为fS=dFSdS=1μ0[(en⋅B)(B0−B)−12(B20−B2)en]fS=dFSdS=1μ0[(en⋅B)(B0-B)-12(B02-B2)en],衔铁与气隙的交界面,B=B0=B0en,故此处的fS=0.衔铁的其它表面,en·B=0,且B0=0,故此处的fS=B22μ0enfS=B22μ0en,其中,en垂直衔铁表面向外,说明衔铁有膨胀变形的趋势.

根据式(10),衔铁所受的总磁力F为F=2(B20en2μ0)A=B20Aμ0enF=2(B02en2μ0)A=B02Aμ0en,其中,en垂直衔铁的下表面向下,说明衔铁的质心有向下运动的趋势.

根据式(21),衔铁受到相对于左端支点的总磁力矩T=B20Al2μ0ezΤ=B02Al2μ0ez,其中,l为衔铁长度,ez垂直纸面向内,说明衔铁有绕左端支点顺时针转动的趋势.

例2:图3中,铁心和磁棒的矩形横截面积均为A,磁棒为材质均匀的线性磁介质,其磁导率μ<μ0,分析磁棒在磁场作用下的形变和运动趋势.

图3磁棒所受磁力

由式(14),磁棒表面所受切向磁力密度fSt和法向磁力密度fSn分别为fSt=(1μ−1μ0)BnBt,fSn=12μ0(1−μ20μ2)B2tenfSt=(1μ-1μ0)BnBt,fSn=12μ0(1-μ02μ2)Bt2en,因为磁棒的左右和前后表面的Bn=0,所以该处的fSt=0;由于边缘效应,铁心外磁棒的上下表面处的BnBt向右,且μ<μ0,故该处的fSt向右。磁棒表面的fSn与en反向,即向内,因此磁棒有压缩变形的趋势.

由对称性可知,式(16)中的面积分在磁棒的上下表面以及前后表面分别抵消,另外磁棒左表面的磁场几乎为零,可以忽略,所以只要计算右表面的积分,这里的Bn=0,Bt=B,于是式(16)简化为Fm=μ−μ02μ2B2AenFm=μ-μ02μ2B2Aen,其中,μ-μ0<0,en水平向右,因此Fm水平向左,说明磁棒的质心有向左运动的趋势.另外,根据式(22)和对称性不难判断,磁棒受到相对其质心的磁力矩Tm=0,说明磁棒没有转动的趋势.因此,磁棒表现为向左平动.

由于媒质在某个方向的运动受到限制,无法发生假想的位移,所以用虚位移法求解例1,只能得到衔铁所受磁力矩的垂直纸面分量,无法得到其它方向的分量,更难以求得衔铁所受的磁场力;用虚位移法求解例2,只能得到磁棒所受磁场力的水平分量,无法得到其它方向的分量,更难以求得磁棒所受的磁力矩.本文公式可求出媒质所受磁场力和磁力矩的各个分量,在此方面弥补了虚位移法的不足.以上两例用等效磁荷法求解过程繁琐,最终结果与本文相同,从而印证了等效磁荷法的合理性.另外,本文推导的总磁场力公式与用法拉第观点得到的结果相同,验证了法拉第观点的正确性.但用等效磁荷法和法拉第观点以及麦克斯韦应力公式,只能求得媒质所受的整体磁场力,不能得到媒质所受的磁力矩和表面的实际磁力分布,本文公式对此作出补充.

3、总结

本文推导的磁场力和磁力矩计算公式适用于复杂的电磁系统,可用于分析媒质在磁力[矩]作用下的形变和运动趋势.在某些情况下虚位移法只能求出总磁场力[矩]的某一分量,而本文公式可以求出媒质表面的实际磁力分布和媒质所受的总磁力[矩].本文公式基于磁准静态场的基本定律,比法拉第观点和等效磁荷法更为严谨可靠.另外,本文同时考虑了体电流和面电流的受力,进一步完善了麦克斯韦应力公式.媒质所受的电场力[矩]也可用本文的方法进行类似分析.