如图，O为四边形ABCD内一点，角OAD等于角OCB，OA垂直于OD,OB垂直于OC
求证：AB的平方加上CD的平方和等于AD的平方加上BC的平方和
分析，看结论，有四个平方项，看图形，有两个直角三角形，我们看看能不能转化一下，然后应用勾股定理。
如果能构造出四个直角三角形，这个问题就可能解决了。连结AC，BD，如果AC⊥BD，这个题就解出来了。
接下来，只须说明AC⊥BD，那就只须从已知条件出发，搭桥过渡了。
证明：连接AC，BD相交于点P
在三角形AOD与三角形BOC中，
因为OA垂直于OD,OB垂直于OC
所以角AOD =角BOC=90度
又因为，角OAD=角OCB
所以，三角形OAD相似于三角形OBC（有两组对角相等，两三角形相似）
OA/OC=OD/OB（两三角形相似，对应边成比例）
所以有 OA/OD=OC/OB
在三角形AOC与三角形DOB中，
OA/OD=OC/OB
角AOD =角BOC=90度
角AOD+角DOC=角BOC+角DOC
即角AOC=角BOD
所以 三角形AOC 与三角形DOB相似（两组对角相等，两个三角形相似）
所以，角OAC=角ODB（相似三角形对应角相等）
在三角形AOD中，角AOD=90度，所以角OAC+角CAD+ADO=90度
又前面已经证明 角OAC=角ODB
所以角ODB+角CAD+ADO=90度
在三角形ADP中，
ODB+角CAD+ADO=90度（前文 证明）
所以AC垂直BD
三角形APD是直角三角形
AD²=AP²+PD²
同理，BC²=PB²+PC²
AD²+BC²=AP²+PD²+PB²+PC²
同样，可证得AB²+CD²=AP²+PD²+PB²+PC²
所以，AD²+BC²=AB²+CD²
到这，这个题就证完了，你学会了吗？
还有什么疑问，欢迎评论区留言，。
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