历史上，古希腊数学家阿基米德最早求出了球的体积及表面积公式。
阿基米德的结果记录在他的两卷著作《论球与圆柱》第一卷中，可以简单地叙述为：
球与其外切圆柱体的体积之比、表面积之比，都等于三分之二。
据说阿基米德希望把这一值得骄傲的发现刻在自己的墓碑上。
本文介绍阿基米德得到球及球冠面积公式的方法，适合中学生阅读。
(一)直圆台的侧面积
初中数学已经学过圆锥的侧面积公式。
利用展开图可知，直圆锥的侧面积等于
其中R是底面圆的半径，L是母线长。
进一步，容易得到直圆台的侧面积公式。
圆台及相关圆锥的轴截面图
命题直圆台的侧面积等于
其中r, R为上下底面圆的半径，d为母线长。
证明：直圆台是从一个大的直圆锥，用平行于底面的平面切除一个小的直圆锥得到的。因此，直圆台的侧面积S等于这两个直圆锥的侧面积之差。
设大小圆锥的底面圆半径分别为R, r母线长分别为L, l则有L=l d, 及
由三角形相似，有
因此得到
这就证明了命题。
(二)旋转体的侧面积
如图，圆弧AL围绕直径AA旋转，得球冠。
我们的目标是求出这个球冠的面积S
为此，先求出特殊的旋转体的侧面积。
任意 n等分圆弧AL, 设分点依次为
则有弦长相等关系式：
对称地，n等分圆弧AL, 设分点依次为
折线ABCD…KL围绕直径AA旋转一周，所得曲面的面积记为Sn
引理这个旋转曲面的面积
证明：所求的面积是一些圆台(圆锥、圆柱)的侧面积之和。
连LL,交AA与M 由上节的命题，得
由相似三角形序列
得到比例式
由合比定理，得
因此
这就证明了引理。
说法：AL, AM分别称为球冠的斜边与高。
(三)球冠的面积
利用穷竭法(古希腊数学的一种特殊极限理论)，阿基米德严格地证明了：
当n-
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